“DISTRIBUSI KEMUNGKINAN TEORETIS(PELUANG)”

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Distribusi Kemungkinan Teoretis adalah merupakan distribusi (tingkat penyebaran) dari suatu kejadian yang dapat diharapkan berdasarkan pertimbangan –pertimbangan teoretis, misalkan masalah probabilitas untuk mendapatkan kesempatan menang atau kalah di dalam suatu undian, yang akan di jelaskan pada bab berikutnya.

B.     Rumusan Masalah

1.      Apa pengertian Distribusi Kemungkinan Teoretis?

2.      Apa saja macam-macam Variabel Random?

3.      Apa saja macam-macam dari Variabel Random Kontinu?

C.    Tujuan

1.      Agar mengetahui pengertian Distribusi Kemungkinan Teoretis.

2.      Untuk mengetahui macam-macam Variabel Random.

3.      Untuk mengetahui macam-macam dari Variabel Random Kontinu.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    PENGERTIAN DISTRIBUSI KEMUNGKINAN TEORETIS

Distribusi Kemungkinan Teoretis adalah merupakan distribusi (tingkat penyebaran) dari suatu kejadian yang dapat diharapkan berdasarkan pertimbangan –pertimbangan teoretis, misalkan masalah probabilitas untuk mendapatkan kesempatan menang atau kalah di dalam suatu undian.

Sebagai ilustrasi agar semakin jelas mengenai pemahaman distribusi kemungkinan teoretis ini antara lain seandainya kita ingin mengetahui apakah sebuah mata uang logam yang mempunyai dua sisi permukaan (Gambar dan Huruf)mempunyai bobot yang seimbangdiantara kedua sisinya, untuk keperluan tersebut selanjutnya dilakukan pelemparan (tos) sebanyak 200kali pelemparan dan ternyata hasilnya adalah sebagai berikut:

·         Tampak huruf (H)=120kali

·         Tampak gambar (G)=80kali

            Harapan kita pada saat melakukan tos terhadap mata uang tersebut adalah mempunyai bobot yang seimbang (akan terjadi tampak tiap permukaan mempunyai kesempatan yang sama), sehingga dari 200kali tos yang dilakukan akan muncul peristiwa sebagai berikut:

Peristiwa	Frekuensi yang diharapkan	Frekuensi sebenarnya
Tampak Gambar (G) Tampak huruf (H)	100 100	120 80

Secara teoretis, jika tampaknya permukaan gambar (G) diberi tanda 0 dan tidak tampaknya permukaan gambar (tampak huruf) diberi tanda 1, maka Tabel 1 menjadi:

Tampak gambar	Frekuensi yang diharapkan	Frekuensi sebenarnya
0 1	100 100	120 80

Untuk dua mata uang yang seimbang ditos 100x, maka peristiwa yang akan terjadi pada setiap pelemparan adalah tampak HH, tampak HG, tampak GH dan tampak GG (H: huruf, G: gambar), sehingga probabilitas yang akan terjadi dalam setiap pelemparan adalah:

v  HH = 1/4

v  HG = 1/4

v  HG = GH= ½

v  GH = ¼

v  GG = ¼

Untuk pengetosan s

sebanyak 100x, tabelnya adalah seperti pada tabel 3:

Tampak Permukaan (G)	Frekuensi yang diharapkan
0 (tidak tampak G) 1 (muncul 1G) 2 (muncul 2G)	¼ x 100 =25 ½ x 100 =50 ¼ x 100 =25

Untuk 3 buah mata uang logam yang ditos sekaligus, peluangnya adalah:

HHH, HHG, HGH, GHH, HGG, GHG, GGH, GGG

Secara umum frekuensi yang diharapkan bisanya dinyatakan dengan notasi P(x) dan peristiwanya itu sendiri dinyatakan dengan X, sehingga tabel 4 menjadi:

Distribusi kemungkinan teoretis adalah merupakan suatu analisis pada statistika untuk menentukan apa yang dapat diharapkan, jika asumsi-asumsi yang dibuat itu benar. Distribusi

Tabel 4

Tampak gambar (G)	Frekuensi yang diharapkan
0 (tidak tampak G) 1 (tampak 1 G) 2 (tampak 2 G) 3 (tampak 3 G)	1/8 3/8 3/8 1/8

Tabel 5

X	P (X)
0 (tidak tampak G) 1 (tampak 1 G) 2 (tampak 2 G) 3 (tampak 3 G)	1/8 3/8 3/8 1/8

Kemungkinan teoretis adalah sebuah distribusi frekuensi yang didalam interval kelas-interval kelasnya merupakan variable random, dan distribusi ini sering pula dijadikan sebagai pengganti distribusi sebenarnya (frekuensinya adalah merupakan peluang terjadinya suatu kejadian).

a.    Variable Random

Yaitu, variable acak atau variable random yang nilainya merupakan suatu hasil perolehan yang terjadi didalam suatu percobaan. Dari kenyataan percobaan diatas, akan terjadi 4 kemungkinan yang akan terjadi, sehingga masing-masing akan mempunyai kesempatan sperti pada tabel diatas. Jika ditulis dalam bentuk pasangannya adalah sebagai berikut: {GG, GH, HG, HH }. Distribusi kemungkinan teoretis terbagi menjadi:

1.      Variable Random Diskrit

2.      Variable Random Kontinu

1.         Variable Random Diskrit

Yang dimaksud dengan Variable Random Diskrit adalah merupakan bilangan yang berbentuk bilangan bulat, seperti: jumlah orang, banyaknya kendaraan bermotor, dan lain-lain (yang terbatas jumlahnya). Dan hasilnya adalah marupakan suatu bilangan dengan nilai yang terputus-putus (diskrit), maka nilai kemungkinan dari seluruh event yang mugkin terjadi dirumuskan sebagai:

   -1

Ada beberapa macam distribusi yang dibentuk oleh variable random diskrit seperti: Distribusi Binominal, Distribusi Poisson, Distribusi Multinominal, Distribusi Hipergeometrik.

2.         Variable Random Kontinu

Nilai variable random kontinu diperoleh dari hasil pengukuran dan atau bilangan sembarang dalam interval tertentu, seperti nilai mata uang, umur seseorang, berat badan, kecepatan laju kendaraan, besarnya curah hujan, dan lain-lain. Karena nilai bilangan ini sifatnya terus menerus (kontinu), maka nilai kemungkinan untuk seluruh event (kejadian) yang diamati, dinyatakan oleh formulasi:

..............................................................................................-2

Sedangkan macam distribusi yang dibentuk oleh variable random kontinu antara lain:

v  Distribusi Normal

v  Distribusi t

v  Distribusi Fisher

v  Distribusi Kai Kuadrat (Chi Square)

Terhadap distribusi yang diperoleh dari kondisi diatas, dalam mencari besarnya nilai kemungkinan yang akan terjadi, adalah merupakan penentuan nilai luas di bawah kurvanya.

a)      Distribusi Binominal

Yang dimaksud dengan distribusi Binominal adalah distribusi kemungkinan teoretis, dengan ciri-ciri sebagai berikut:

·         Probabilitasnya Independent (saling bebas)

·         Hasil percobaan mempunyai dua “outcomes” nilai yang mungkin terjadi dalam hal ini adalah:

-          Sukses

-          Gagal

·         Sehingga dalam menentukan nilai kemungkinannya adalah:

P(sukses) = P(x/n,p)

                 = _n C_x . p(1 – p)^n-x

P + Q = 1 atau q = 1 – p

Sehingga formulasi diatas dapat ditulis: (sukses) = _n C_x . p(q) ^n-x

·         Jumlah percobaan biasanya tertentu (n)

Rata-rata = λ  = n . p

Standar deviasi δ =

Dimana:

n : Banyaknya sampel

x : Banyaknya sukses/ gagal dalam sampel

p : Probabilitas sukses

q : Probabilitas gagal               (1- p)

b)     Distribusi Multinomial

Distribusi ini merupakan perluasan dari distribusi binomial dengan ciri-cirinya sebagai berikut:

1)      Peristiwanya independent.

2)      Setiap percobaan tunggal mempunyai hasil kejadian lebih dari 2 (dua) dan semuanya disebut sukses.

3)      Peluang terjadinya setiap “outcomes” disebut p₁, p₂,...p_n, sehingga

4)      Biasanya dalam hal ini jumlah percobaan tertentu.

Rumus Distribusi Multinomial:

P(k₁ k₂,...k_n)= n!    P₁^k1 p₂^k2 ....p_n^kn

             K₁ ! k₂ !...k₃ !

Dimana:

p : Probabilitas

k :Kejadian yang mungkin

contoh:

1)        Dalam sebuah kotak, terdapat sebanyak 15% bola merah, 50% bola putih, dan sisanya bola biru. Selanjutnya dari kotak tersebut diambil sampel sebanyak 10 buah secara random. Berapakah probabilitasnya dari sampel tersebut akan terdapat:

a.       3 buah bola merah, 1buah bola putih, dan sisanya bola biru.

b.      Satu merah dan sisanya putih

Jawab:

Diketahui: p( merah) = 0,15

                  P( putih) = 0,50

                  P (biru)   = 0,35 (sisanya)

a.       Probabilitas 3 merah, 1 putih, dan sisanya biru adalah:

P(3, 1, 6 = 10)= (0,15)³ (0,5)¹ (0,35)⁶ = 0,026

b.      Probabilitas 1 merah dan sisanya putih adalah:

P(1, 9, 0 = 10) = (0,15)¹ (0,5)⁹ (0,35)⁰ = 0,00293

c)      Distribusi Hipergeometrik

Yaitu suatu bentuk distribusi yang diperoleh dari hasil percobaan dengan pengambilan sekaligus secara acak (random) dan tanpa pengambilan.

Kondisi-kondisi distribusi hypergeometrik

Jika ada sebuah populasi memiliki N buah unsur dan ada sebanyak k unsur yang sama, serta ada pula sebanyak (k – N) unsur yang sama membentuk kelompok lain, maka apabila dari populasi tersebut selanjutnya diambil sampel sebanyak n buah secara acak. Probabilitas untuk mendapatkan k dan n – k adalah sebagai berikut:

P(x/N, X_T, n) =

Di mana:

N                  : Banyaknya populasi

N                  : Banyaknya sampel acak

_{N –} X_T C_{n – x} : Nilai Kombinasi

P                   : Probabilitas

Q                  : Probabilitas gagal          (1 – p)

Contoh:

       Dalam sebuah keranjang berisi bola yang terdiri dari 12 bola merah dan 8 bola putih, jika dari keranjang tersebut diambil sebanyak 6 buah secara acak dan tanpa pengembalian, maka berapakah probalilitasnya akan terambil 3 bola merah dan 3 bola putih?

Jawab:

P(m = 3; p = 3) =  _20-8 C _{6-3 8}C₃

                                                 ₂₀ C₃

                          = ₁₂ C_{3 8}C₃

                                  ₂₀ C₃

                          = 0,3178

       Atau ada sebanyak 31,78% yang mungkin terambil 3 merah, 3 putih untuk satu kali pengambilan sebanyak 6 buah.

d)   Distribusi Poisson

       Distribusi ini ditemukan oleh poisson, sedangkan aplikasi atau pemakaiannya sama saja dengan distribusi binomial. Hanya saja pada distribusi Poisson ini ada suatu persyaratan, yaitu juika probabilitasnya (p) ≤ 0,01 dan (n) ≥ 50

Rata – ratanya (λ) = n . p

Standar deviasi δ =

Rumus distribusi Poisson:

P(X = x) = λ^x e^-λ

                     x!

Contoh:

     Pada jam-jam sibuk nasabah yang datang pada sebuah bank yang akan melakukan transaksi diperlukan sebanyak 300 orang. Jika rata-rata setiap orang dapat dilayani oleh Customer Service selama 3 menit, maka berapakah tingkat penyimpangan yang mungkin dilakukan oleh Customer Service terhadap para nasabahnya?

Jawab:

Diketahui: - jumlah nasabah (n) = 300

                  -Rata-rata pelayanan (λ) = 3

(λ) = n . p    3 = (300) . p

P = 0,01      q = 1 – p

q =  0,99

δ=  =  = 1,72 menit

e)        Distribusi Normal

Distribusi normal ini sangat memegang peranan dalam statistika khususnya pada saat melakukan analisis data, pengujian hepotesis dan lain-lain. Katrena hampir semua data penelitian dengan pengambilan sampel yang cukup memadai akan mempunyai distribusi normal.

Persamaan distribusi normal : f(x) =     

f)         Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Distribusi Normal

Tabel pendekatan distribusi binomial terhadap distribusi normal, sebagai berikut:

Tanda	Nilai
>	-0,5
<	+0,5

                                                f(x) =

                                                           

.      .         .             .           .         .

  -3δ  -2δ  -1δ   0  +1δ   +2δ  +3δ

                        Gambar 1

·         Grafik distribusi normal selalu berada diatas sumbu x dan tidak pernah memotong sumb x tersebut.

·         Bentuknya simetris terhadap rata-ratanya ( )

·         Nilai x dapat dikonversikan kedalam nilai standar (nilai baku) Z =

                                                                                                           

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Distribusi Kemungkinan Teoretis adalah merupakan distribusi (tingkat penyebaran) dari suatu kejadian yang dapat diharapkan berdasarkan pertimbangan –pertimbangan teoretis, misalkan masalah probabilitas untuk mendapatkan kesempatan menang atau kalah di dalam suatu undian.

Variabel Random Yaitu, variable acak atau variable random yang nilainya merupakan suatu hasil perolehan yang terjadi didalam suatu percobaan. Dari kenyataan percobaan diatas, akan terjadi 4 kemungkinan yang akan terjadi, sehingga masing-masing akan mempunyai kesempatan sperti pada tabel diatas. Jika ditulis dalam bentuk pasangannya adalah sebagai berikut: {GG, GH, HG, HH }.

Distribusi kemungkinan teoretis terbagi menjadi:

1.      Variable Random Diskrit

Yang dimaksud dengan Variable Random Diskrit adalah merupakan bilangan yang berbentuk bilangan bulat.

2.      Variable Random Kontinu

Nilai variable random kontinu diperoleh dari hasil pengukuran dan atau bilangan sembarang dalam interval tertentu, seperti nilai mata uang, umur seseorang, berat badan, kecepatan laju kendaraan, besarnya curah hujan, dan lain-lain. Karena nilai bilangan ini sifatnya terus menerus (kontinu).

Macam-macam variabel random kontinu

a.       Distribusi Binominal

b.      Distribusi Multinomial

c.       Distribusi Hipergeometrik

d.      Distribusi Poisson

e.       Distribusi Normal

f.       Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Distribusi Normal

DAFTAR PUSTAKA